Problemi

In questa pagina sono raccolti vari, interessanti, problemi.

Il ghiacciaio.
Un ghiacciaio, a causa del riscaldamento globale, si riduce del 3% ogni anno rispetto all'anno precedente.
Dopo quanti anni si sarà ridotto della metà?

Se il ghiacciaio si riduce del 3% ogni anno, significa che ne rimane il (100 - 3)% = 97%.
Di conseguenza, ogni anno rimane il 97% dell'anno precedente.
Quindi abbiamo 0,97x = 0,5.
Prendendo i logaritmi (ad esempio naturali) di entrambi i membri, si ha:
ln(0,97x) = ln(0,5)
e, utilizzando le proprietà dei logaritmi:
x * ln(0,97) = ln(0,5), x = ln(0,5) / ln(0,97)
Approssimando, abbiamo x = 22,76. Quindi dopo circa 22 anni e 9 mesi il ghiacciaio si sarà ridotto della metà.


Risparmio.
Un risparmiatore deposita sul suo conto corrente inizialmente vuoto una certa somma di denaro con interesse a credito dell'1,5% mensile.
Di quale percentuale sarà aumentato il capitale dopo un anno, supponendo che non abbia mai prelevato e che non ci siano spese sul conto corrente?

Si parla di interesse composto; la percentuale finale sarà di (1 + 0,015)12 = 1,196 = 1 + 0,196, cioè del 19,6% circa.


Saldi e sconti.
Su un bene viene praticato lo sconto del 50% + 20%.
Determinare lo sconto totale.

Lo sconto totale non è 50% + 20% = 70% ma bisogna ragionare in questo modo:
io pago il 50% grazie al primo sconto e l'80% del rimanente grazie al secondo sconto.
Abbiamo quindi che 0,50 * 0,80 = 0,40, che corrisponde al 60% di sconto totale.


Il dimezzamento.
Una quantità viene dimezzata un certo numero di volte (eventualmente zero).
Conoscendo la quantità iniziale e quella finale, determinare quante volte è stata dimezzata.

Indicando con x la quantità iniziale, con y quella finale e con n il numero dei dimezzamenti, abbiamo:
y = x / 2n, y = x * 2-n
risolvendo rispetto a n, abbiamo:
y / x = 2-n, log2(y / x) = -n, n = -log2(y / x), n = log2(x / y) oppure anche n = ln(x / y) / ln(2).


Nella savana.
Un leone, un leopardo e uno sciacallo divorano insieme una zebra. Il leone da solo divorerebbe la zebra in un'ora. Il leopardo impiegherebbe tre ore, lo sciacallo addirittura sei ore.
In quanto tempo divorano insieme la zebra?

Ragioniamo in termini di "zebra mangiata" anziché di tempo: in un'ora il leone mangia una zebra intera, il leopardo un terzo e lo sciacallo un sesto. Tutti insieme, in un'ora, divorerebbero quindi 1 + 1/3 + 1/6 = 3/2 di zebra, cioè una zebra e mezza. Di conseguenza, per mangiare una zebra intera, impiegano 2/3 di ora, che corrispondono a 40 minuti.


Il paradosso. Un pozzo deve ricevere acqua da una sorgente, in cui è disponibile in quantità illimitata. Il pozzo è collegato alla sorgente con dei tubi, di diverso diametro, collegati in serie.
Qual è la massima portata di acqua ottenibile dalla sorgente al pozzo?

La portata massima è il minimo delle portate dei singoli tubi che compongono il collegamento.


Il problema dei 17 cammelli.
Morendo un arabo aveva lasciato tutti i suoi beni a tre amici specificando che al primo di essi spettava la metà degli averi, al secondo un terzo e all'ultimo un nono. Ora i suoi beni consistevano in 17 cammelli.
Come devono essere ripartiti?

Il caid aggiunge il suo cammello ai 17, facendoli diventare 18 e quindi disse ai tre: "Tu che sei il primo e hai diritto alla metà, prendi 9 cammelli; tu che sei il secondo e hai diritto a un terzo, prendi 6 cammelli, e tu che sei terzo e hai diritto ad un nono, ecco due cammelli. Ne avanza uno, il mio, perché 9 + 6 + 2 = 17".


Nello stagno.
Una ninfea, dalla crescita straordinaria, ogni giorno raddoppia la superficie occupata dello stagno. Dopo 18 giorni lo stagno è completamente ricoperto dalla ninfea. Dopo quanti giorni lo stagno era ricoperto della metà?

Se consideriamo che all'ultimo giorno la superficie dello stagno è completamente ricoperta dalla ninfea, e che questa raddoppia la sua area ogni giorno, allora dopo 17 giorni lo stagno sarà ricoperto della metà.


La merenda.
Un pomeriggio Alberto, Beatrice e Carlo vanno a fare merenda da Dario, Ernesto e Franco, ma quando arrivano non trovano nessuno. Sul tavolo della cucina c'è un piatto di pasticcini. Alberto si serve della metà dei pasticcini, poi decide di mangiarne un altro. Quindi Beatrice ne mangia metà di quelli rimasti più uno. Infine Carlo ne mangia metà di quelli rimasti più uno. A questo punto Franco entra in cucina e mangia metà dei pasticcini rimasti più uno. E con questo i pasticcini sono finiti. Quanti erano?

Franco deve aver trovato due pasticcini, perché mangiandone la metà più uno non ne ha lasciato nessuno. Carlo deve aver trovato sei pasticcini, perché mangiandone la metà più uno ne ha lasciati due a Franco. Beatrice ne ha trovati quattordici, mangiandone la metà più uno ne ha lasciati sei. Alberto ne ha trovati trenta, mangiandone la metà più uno ne ha lasciati quattordici. Quindi all'inizio c'erano trenta pasticcini.


Le uova.
Un agricoltore va al mercato per vendere le sue uova. Il primo cliente compra metà delle uova più mezzo uovo. La stessa cosa succede un'altra volta: il secondo cliente compra metà delle uova rimanenti più mezzo uovo. Il terzo cliente compra metà delle uova rimanenti più mezzo uovo. A questo punto le uova sono finite.
Quante ce n'erano all'inizio?

L'ultimo cliente deve aver comprato un uovo, perché metà delle uova più mezzo uovo (1/2 + 1/2 = 0,5 + 0,5 = 1) è uguale ad un uovo. Per lasciarne uno, il secondo cliente deve aver comprato due uova, perché metà delle uova più mezzo uovo (3 / 2 + 1/2 = 1,5 + 0,5 = 2) sono due uova. Per lasciarne tre, il primo cliente deve aver comprato quattro uova, perché metà delle uova più mezzo uovo (7 / 2 + 1/2 = 3,5 + 0,5 = 4). Quindi all'inizio c'erano 7 uova.


L'autobus.
Voi state conducendo un autobus in cui sono cinquanta persone. L'autobus fa una fermata alla quale dieci persone scendono e tre salgono. Alla prossima fermata sette persone scendono e due salgono. Vi sono altre due fermate a ognuna delle quali scendono quattro passeggeri, mentre tre salgono alla prima e nessuno alla seconda. A questo punto l'autobus deve fermarsi per un guasto meccanico. Alcuni passeggeri hanno fretta e decidono di avviarsi a piedi. Così scendono otto persone. Quando il guasto è stato riparato, l'autobus procede fino al capolinea e tutti scendono.
Quante persone sono rimaste nell'autobus e sono scese al capolinea?
Quante fermate ha fatto in tutto l'autobus?
Qual era il nome del conducente?

Riportiamo, in ordine, la salita e la discesa dei passeggeri:
- partenza: 50 persone
- 1a fermata: 50 - 10 + 3 = 43 persone
- 2a fermata: 43 - 7 + 2 = 38 persone
- 3a fermata: 38 - 4 + 3 = 37 persone
- 4a fermata: 37 - 4 + 0 = 33 persone
- 5a fermata (guasto): 33 - 8 = 25 persone
- capolinea: 25 persone
Senza contare il capolinea, ma contando quella del guasto, l'autobus ha fatto 5 fermate.
La prima parola del paragrafo vi dice chi è il guidatore. La prima parola è "Voi"; la risposta giusta alla domanda è dunque il vostro stesso nome. Eravate voi a guidare l'autobus.

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